Позиционные системы счисления

Главная Форумы Программирование Архитектура ЭВМ и систем Позиционные системы счисления

В этой теме 0 ответов, 1 участник, последнее обновление  Васильев Владимир Сергеевич 6 дн., 13 час. назад.

  • Автор
    Сообщения
  • #4185

    Система изображения любых чисел с помощью ограниченного числа знаков называется системой счисления. В цифровых машинах каждый из этих знаков изображается в виде одного из нескольких возможных состояний некоторого физического элемента, а все число, представляющее собой совокупность этих знаков, — либо в виде совокупности одновременно существующих состояний различных физических элементов (параллельный способ представления чисел в цифровых машинах), либо в виде последовательно сменяющих друг друга во времени состояний одного и того же элемента (последовательный способ представления чисел в цифровых машинах).

    Известно, что от выбора системы счисления в значительной степени зависит удобство выполнения арифметических операций с помощью карандаша и бумаги. В случае выполнения вычислений на цифровых машинах выбор системы счисления в большой степени определяет конструкцию цифровой машины, схемы основных элементов и узлов, скорость выполнения операций. Поэтому вопросу о правильном выборе системы счисления для реализации ее на цифровой машине мы должны уделить серьезное внимание.

    1. В позиционных системах счисления число, изображенное в виде
    $$x_{m}x_{m-1}…x_{2}x_{1}x_{0}$$
    равно
    $$x_{m}P_{m}+x_{m-1}P_{m}+…+x_{2}P_{2}+x_{1}P_{1}+x_{0}P_{0}=\sum_{i==0}^{m}x_{i}P_{i}$$
    где

    • $$x_{m}, x_{m-1}, …, x_{2}, x_{1}, x_{0}$$ – символы, обозначающие целые числа;
    • $$P_{m}, P_{m-1}, …, P_{2}, P_{1}, P_{0}$$ – веса, т. е. количественные зна­чения каждой единицы, опре­деляемые местом (позицией), занимаемым соответствующим символом в изображении числа.

    Если, например, мы условимся изображать время шести­значным числом, в котором две старшие цифры обозначают часы (в десятичной системе счисления), две следующие цифры — минуты, а две последние цифры — секунды, то число 155208 следует понимать как число секунд, равное 1-36000+ 5-3600+ 5-600 + 2-60 +0 - 10 + 8-1.
    В данном случае
    $$x_5 = 1, x_4 = 5, x_3 = 5,x_2 = 2,x_1 = 0, x_0 = 8;
    \\
    P_5 = 36000, P_4 = 3600, P_3 = 600, P_2 = 60, P_1 = 10, P_0 = 1.$$

    При изображении разных чисел в любой конкретной системе счисления символы
    $$x_{5}, x_{4}, x_3 x_{2}, x_{1}, x_{0}$$
    могут менять свое цифровое выражение, веса же единиц, расположенных на одних и тех же позициях во всех числах, сохраняют одно и то же заранее условленное значение.
    Номер позиции, определяющий вес единицы, располо­женной на этой позиции, мы будем называть разрядом.

    2. Среди позиционных систем особое значение имеют системы счисления, в которых веса отдельных разрядов представляют собой ряд членов геометрической прогрессии со знаменателем р, т. е. число
    $$x_{m}, x_{m-1}, …, x_{1}x_{0}, x_{-1},x_{-2}$$
    (номер разряда отсчитывается от запятой) имеет значение
    $$x_{m}P^{m}+x_{m-1}P^{m-1}+…+x_{1}P^{1}+x_{0}P^{0}+x_{-1}P^{-1}+x_{-2}P^{-2}+…$$

    Число различных символов, необходимых для записи произвольного числа, равно знаменателю ‘ геометрической прогрессии р. В большинстве случаев бывает удобно исполь­зовать целые числа натурального ряда от 0 до р — 1.

    Знаменатель геометрической прогрессии р, равный от­ношению веса любого разряда к весу соседнего справа раз­ряда, носит название основания системы счисления.

    Широко распространенная десятичная система счисле­ния с основанием, равным десяти, является частным случаем рассмотренных выше систем счисления.

    Позиционный способ записи чисел не является единст­венным возможным. Примером непозиционной системы счис­ления, в которой вес каждой единицы не связан однозначно с ее позицией, является система римской нумерации. В рим­ской системе счисления, например, единица в левом разряде числа II имеет «вес», равный 1, а такая же единица в левом разряде числа IV — «вес», равный —1.

    Позиционные системы счисления имеют ряд серьезных преимуществ перед непозиционными системами. Основным преимуществом позиционной системы следует считать удобство выполнения таких арифметических опера­ций, как сложение, вычитание, умножение, деление, извле­чение корня и др. Поэтому в цифровых машинах для изоб­ражения чисел, как правило, применяется позиционная система счисления.

    Известны принципы построения цифровых машин и в непозиционных системах счисления, в частности, в си­стеме остаточных классов.

    (материал взят из книги Папернов А.А. Логические основы цифровых машин и программирования Текст. М.: Наука, 1968. 591с.)

Для ответа в этой теме необходимо авторизоваться.