Метод Гаусса решения СЛАУ

В этой теме 0 ответов, 1 участник, последнее обновление  Васильев Владимир Сергеевич 6 мес., 3 нед. назад.

  • Автор
    Сообщения
  • #3950

    Раньше мы рассматривали метод Гаусса-Жордана решения систем линейных алгебраических уравнений. В нем матрица коэффициентов при неизвестных приводилась к диагональному виду путем эквивалентных преобразований. Однако тот метод являлся модификацией метода Гаусса.

    В методе Гаусса матрица коэффициентов системы приводится к треугольному виду :

    На рисунке показана система уравнений, приведенная к треугольному виду и соответствующей ей матрицы. При этом видно, что мы можем легко вычислить x[n] = b[n]/a[n][n]. Однако если подставить x[n] в предпоследнее уравнение – удастся вычислить x[n-1]. После чего, в n-2 уравнение можно подставить x[n] и x[n-1]. Такой процесс может продолжаться пока не будут вычислены все неизвестные. Ниже приведена блок-схема такого варианта алгоритма Гаусса:

    С другой стороны, получив значение x[n] мы можем выполнить его подстановку в уравнения, расположенные выше. После этой подстановки элементарным окажется решение уравнения с номером n-1. Вычисленное значение x[n-1] также подставляем в уравнения расположенные выше. Такой вариант алгоритма приведен на следующей блок-схеме алгоритма:

    Вычисления, выполняемые после приведения матрицы к треугольному виду в алгоритме Гаусса называются обратным ходом. Оба, рассмотренных в статье алгоритма обратного хода имеют асимптотическую оценку сложности O(n*n).

Для ответа в этой теме необходимо авторизоваться.