Сравнительный анализ позиционных систем счисления

Главная Форумы Программирование Архитектура ЭВМ и систем Сравнительный анализ позиционных систем счисления

В этой теме 0 ответов, 1 участник, последнее обновление  Васильев Владимир Сергеевич 1 месяц назад.

  • Автор
    Сообщения
  • #4187

    Сравнительный анализ позиционных систем счисления с точки зрения их применения в вычислительной технике

    Выбор числа десять в качестве основания системы счисления исторически связан с числом пальцев на руках человека. Однако десятичная система счисления не является наиболее удобной с точки зрения ее реализации в цифровых машинах.

    Как указывалось выше, любой из символов, применяемых для записи чисел, должен в цифровой машине изображаться в виде одного из нескольких возможных состояний некоторого физического элемента. Естественно, что эти состояния должны быть устойчивы и четко различимы.

    Выполнение элемента с десятью четко различимыми состояниями представляет собой сложную техническую задачу, в то время как элементов с двумя четко различимыми состояниями имеется достаточно много (замкнутый или разомкнутый контакт, открытая или закрытая электронная лампа, намагниченный или размагниченный магнитный носитель). В этих элементах различие между отдельными фиксированными их состояниями носит качественный, а не количественный характер, благодаря чему запоминание чисел в цифровых машинах на этих элементах может быть реализовано значительно надежнее, чем на элементах, в которых количество четко различимых состояний превышает два. Указанное обстоятельство явилось одной из главных причин широкого распространения двоичной системы счисления в цифровой технике.

    Для изображения чисел в двоичной системе счисления используются лишь два символа: 0 и 1.
    Ниже приведена таблица с двоичными изображениями некоторых целых и дробных чисел.

    десятичное изображение числа двоичное изображение числа десятичное изображение числа двоичное изображение числа
    0 0 | $$\frac{1}{2}$$ 0,1
    1 1 | $$\frac{1}{4}$$ 0,01
    2 10 | $$\frac{3}{4}$$ 0,11
    3 11 | $$\frac{1}{8}$$ 0,001
    4 100 | $$\frac{5}{8}$$ 0,101
    5 101 | $$\frac{1}{16}$$ 0,0001
    6 110 | $$\frac{3}{16}$$ 0,0011
    7 111 | $$\frac{11}{16}$$ 0,1011
    8 1000 | $$3+\frac{5}{16}$$ 11,0101
    25 11001 | $$1+\frac{3}{8}$$ 1,011

    Максимальное двоичное число, которое можно изобра­зить с помощью n двоичных знаков, имеет вид
    $$\overbrace{1 1 … 1}^{\text{n знаков}} = 2^n – 1$$

    Диапазон чисел, которые можно изобразить п двоичными знаками, составляет
    $$0 \div 2^n – 1$$

    Для изображения отрицательных двоичных чисел нужно использовать дополнительный символ знака числа.

    Вопрос о методах быстрого и удобного перевода чисел из десятичной системы счисления в двоичную и обратно будет рассмотрен ниже.

    Важным преимуществом двоичной системы счисления является простота выполнения арифметических операций. Методы выполнения основных арифметических операций над двоичными числами будут рассмотрены в следующей главе.

    Еще одним преимуществом двоичной системы счисления является ее экономичность. Остановимся на этом вопросе несколько подробнее.

    Экономичность той или иной системы счисления часто оценивается числом цифро-разрядов, необходимых для изображения натурального ряда целых чисел в пределах от 0 до N. Имеется несколько причин для выбора такой оценки. Во-первых, в ряде случаев оборудование, необходимое для хранения в цифровой машине одной цифры, пропорционально основанию системы счисления. Например, в первых цифровых машинах, использовавших десятичную систему счисления, для хранения одной десятичной цифры использовалось десять двоичных запоминающих элементов (триггеров). В случае уменьшения основания сиcтемы счисления число триггеров, необходимых для хранения одной цифры, пропорционально бы уменьшилось (исключение составляет двоичная система счисления, позволяющая реализовать надежное хранение одной цифры на одном, а не двух триггерах). Оборудование, необходимое для хранения любого числа от 0 до N, пропорционально произведению количества цифр на количество разрядов.

    Во-вторых, время, необходимое для умножения на один разряд путем выполнения ряда последовательных сложений или вычисления одной цифры частного путем выполнения ряда последовательных вычитаний, пропорционально основанию системы счисления, а время, необходимое для полного выполнения операции умножения или деления, пропорционально произведению количества цифр на количество разрядов.

    Таким образом, число цифро-разрядов в какой-то степени характеризует как объем оборудования цифровой машины, так и ее быстродействие.

    При основании р и числе разрядов n могут быть представлены $$N = p^n$$ различных целых чисел в пределах от 0 до $$p^n — 1$$. Для заданного числа N количество цифро-разрядов при основании p равно

    $$pn = p\log_{p}N= \frac{p}{\log_{N}p}$$ (1)

    (если $$\log_{p}N$$ не является целым числом, то количество раз­рядов равно $$\log_{p}N$$, округленному до ближайшего большего целого числа, однако этой детали, уточняющей наши рас­четы, мы в первом приближении можем не учитывать).

    Дифференцируя выражение (1) по основанию p и при­равнивая производную нулю, нетрудно показать, что оно имеет минимальное значение при р = е = 2,718.... Однако значительно удобнее, когда основание системы счисления целое, а не дробное число. При целых основаниях отноше­ние $$\frac{p}{\log_{N}p}$$ имеет следующие значения:

    p 2 3 4 5 8 10 12 16
    $$\frac{p}{\log_{n}p}$$ 6,64 6,29 6,64 7,15 8,86 10 11,12 13,29

    Заметим, что выбор основания 10 не влияет на соотношение чисел во второй строке таблицы, так как при ином основании они бы все пропорционально изменились.

    Если бы оборудование для хранения одного разряда троичной системы счисления было бы в 3/2 раза больше, чем оборудование для хранения одного разряда двоичной системы, то в целом троичная машина оказалась бы на 5% экономичнее двоичной машины. Однако ввиду того, что существенно троичный элемент (т. е. элемент, физическая природа которого позволяет в нем выделить три четко различимых состояния) оказывается менее надежным, чем существенно двоичный элемент, пришлось бы оборудование для хранения одного троичного разряда увеличить не в 3/2, а минимум в 2 или даже в 3 раза по сравнению с двоичной системой счисления (два триггера в случае двоичного изображения каждой троичной цифры, три триггера в случае изображения троичной цифры так называемым «одинарным» кодом). С учетом этого обстоятельства двоичная система в смысле экономичности оказывается вне конкуренции.

    Не следует, однако, забывать об основных предпосылках вывода о преимуществах двоичной системы счисления в смысле ее экономичности. Если бы в дальнейшем в ходе развития вычислительной техники появились существенно троичные или другие элементы, обладающие высокой надежностью, то в вышеизложенные рассуждения пришлось бы внести существенную поправку.

    (материал взят из книги Папернов А.А. Логические основы цифровых машин и программирования Текст. М.: Наука, 1968. 591с.)

Для ответа в этой теме необходимо авторизоваться.