Некоторые другие системы счисления

Главная Форумы Программирование Архитектура ЭВМ и систем Некоторые другие системы счисления

В этой теме 0 ответов, 1 участник, последнее обновление  Васильев Владимир Сергеевич 1 месяц назад.

  • Автор
    Сообщения
  • #4198

    1. Модификация двоичной системы счисления

    Двоичная система счисления, в которой разряды могут быть равны 0 или 1 ,является основной системой , в которой вводятся числа в цифровую машину ,выполняются арифметические действия и выводятся результаты. Однако в процессе анализа арифметических операций в последующих главах мы будем использовать и другие системы счисления, отличающиеся от описанной выше.

    Двоичная система счисления с цифрами 1 и -1

    В этой системе вес каждого разряда выше веса соседнего справа разряда в 2 раза, однако цифры имеют значение равное 1 или -1 . Цифра, равная -1, обозначается $$\overline{1}$$.
    В этой системе счисления отрицательные числа можно изображать, не используя специального символа знака. Максимальное положительное число, которое можно изобразить с помощью n двоичных знаков, есть
    $$\underbrace{(111\ldots1)}_{n единиц}=2^n – 1$$

    Максимальное значение по модулю отрицательное число, которое можно изобразить с помощью n двоичных знаков, есть
    $$\underbrace{(\overline{1}\overline{1}\overline{1}\ldots\overline{1})}_{n}=-(2^n – 1)$$

    Диапазон чисел, которые можно представить n символами 1 и -1, в 2 раза больше, чем диапазон чисел, которое можно представить символами 0 и 1. Но в дискретность чисел, т .е. интервал между двумя последовательными числами, изображаемыми в данной системе, тоже в 2 раза больше и равен двум единицам младшего разряда. В этой системе можно изобразить только числа, равные нечетному количеству единиц младшего разряда.

    Двоичная система счисления с цифрами 1, 0, -1

    . В этой системе счисления количество используемых символов превышает основание системы счисления. В таких системах счисления изображение чисел не является однозначным. Например, единица с помощью двух знаков может быть изображена
    $$либо\;как\;01,\;либо\;как\;1\overline{1}$$
    Это обстоятельство позволяет накладывать на изображение чисел некоторые дополнительные условия. Диапазон чисел, которые могут представлены в этой системе, такой же, как и системе с цифрами 1 и -1, а дискретность чисел такая же, как в системе с цифрами 0 и 1.

    2. Троичная система счисления (1,0,1)

    С точки зрения возможностей реализации в цифровых машинах представляет интерес троичная система счисления с цифрами
    ;;1,/;0\;и\;\overline{1},\;где\;\overline{1} – это -1.$$

    Диапазон чисел, которые могут быть представлены в такой системе счисления, симметричен относительно нуля и составляет
    $$-\frac{1}{2}\cdot(3^n-1)\div\frac{1}{2}\cdot(3^n-1).$$

    Преобразование положительных десятичных чисел в троичную систему (1,0,-1) выполняется в следующей последовательности:

    • Выделяется целая часть числа таким образом чтобы оставшаяся дробная часть числа не выходила за пределы ±1/2. Это значит что если дробная часть десятичного числа равна или меньше 1/2 то целая часть выделяется с недостатком. Если дробная часть превышает 1/2 то целая часть выделяется с избытком.
    • Преобразование целой части десятичного числа выполняется путём последовательного деления исходного числа и целой части частного на 3 с выделением остатка. Так как остатки должны соответствовать выбранным цифрам троичной системы, то если остаток от деления в каком-либо цикле оказался равным 2, к частному добавляется 1, а вместо остатка записывается 1.
    • Преобразование дробной части десятичных чисел в троичные дроби выполняется путем последовательного умножения дробной части исходного числа и дробной части произведения на 3 с выделением целой части в качестве очередной цифры дробного троичного числа. Если произведение окажется в пределах ±1/2 то целая часть произведения и очередная цифра принимаются равными 0. Если произведение больше 1/2 то целая часть произведения и очередная цифра принимаются равным 1 ,а дробная часть произведения, произведению уменьшенному на 1. Если произведение меньше чем -1/2 то целая часть произведения и очередная троичная цифра принимаются равным -1, а дробная часть – произведению увеличенному на 1

    Пример. Дано десятичное число 73.7 .Так как дробная часть больше 0.5 то целую часть примем за 74 а дробную часть за (-0.3)
    Преобразуем целую часть числа:

    Целая часть частного при делении на 3 74 25 8 3 3 0
    Остаток -1 1 -1 0 1

    $$(74)_{p=10}=(10\overline1 1 \overline1)_{p=3}$$

    Преобразуем дробную часть числа:

    Целая часть произведения при умножении на 3 $$\underbrace{\overline1\;0\;1\;0}_{период}$$
    Дробная часть произведения -0,3 $$\underbrace{0,1\;\;0,3\;\;-0,1\;\;-0,3}_{период}$$

    $$
    (-0.3)_{p=10}=(1,\overline1 010 \overline1 010\ldots)_{p=3},
    \\
    (73.7)_{p=10}=(10 \overline1 1 \overline1 ,\overline1 010 \overline1 010\ldots)_{p=3}
    $$

    (материал взят из книги Папернов А.А. Логические основы цифровых машин и программирования Текст. М.: Наука, 1968. 591с.)

Для ответа в этой теме необходимо авторизоваться.