Метод Якоби решения СЛАУ

В этой теме 0 ответов, 1 участник, последнее обновление  Васильев Владимир Сергеевич 9 мес., 1 неделя назад.

  • Автор
    Сообщения
  • #4499
    @admin

    Метод Якоби сильно отличается от таких методов как Гаусса или Камера, т.к. является итеративным. Для метода Гаусса мы можем заранее определить примерное количество выполняемых операций, то для итеративных методов сделать это нельзя. Итеративный процесс поиска решения предполагает повышение точности с каждой последующей итерацией.

    СЛАУ задается матрицей коэффициентов А и векторами X (неизвестных) и B (свободных членов):
    $$A \cdot X = B$$

    Алгоритм поиска корней можно описать следующим образом:
    1. Ввод размерности (n), точности (eps), матриц системы, приближенных значений неизвестных (элементы начального приближения могут быть равно нулю) и свободных членов;

    2. Расчет приближения — вектора
    $$ Y = \begin{pmatrix}
    y_1\\
    y_2\\
    \ldots\\
    y_n
    \end{pmatrix},~где~y_i = \frac{1}{a_{i,i}} \cdot (b_i — \sum\limits_{j=0,j \neq i}^n (a_{i,j}\cdot x_i)),~для~i = j = 1 \ldots n;$$
    3. Вычисление погрешности текущего приближения:
    $$eact = max(|y_i-x_i|), i=1 \ldots n;$$
    4. Если eact > e, то X = Y и переход на п.2
    5. Конец — результат работы алгоритма — вектор X.

    Рассмотрим пример:
    yakobi_example

    Приведем данную систему к удобному для вычисления виду:
    yakobi_example_1

    В качестве начального приближения возьмем значения:
    yakobi_example_2

    Начнем последовательно вычислять приближения с точностью ε = 0,001.
    1 итерация:
    yakobi_example_3

    2 итерация:
    yakobi_example_4

    3 итерация:
    yakobi_example_5

    Результат:
    $$x_1 = 1,102; x_2 = 0,990; x_3 = 1,011$$

Для ответа в этой теме необходимо авторизоваться.