Логические функции и логические схемы

Главная Форумы Программирование Архитектура ЭВМ и систем Логические функции и логические схемы

В этой теме 0 ответов, 1 участник, последнее обновление  Васильев Владимир Сергеевич 4 нед., 1 день назад.

  • Автор
    Сообщения
  • #4202

    1. Логические функции в цифровых машинах вырабатываются элементами, построенными на электронных лампах, полупроводниках, ферритах или основанными на каких-либо других физических принципах.

    Единица и нуль на входах и выходах логических элементов изображаются двумя резко отличающимися друг от друга физическими состояниями, например двумя значительно разнящимися уровнями напряжения или тока.

    Физическим носителем логической величины может быть либо потенциал, либо импульс. Потенциалом мы будем называть физическое состояние, сохраняющееся в течение всего времени, пока не изменится соответствующая ему логическая величина. Импульсом мы будем называть физическое состояние, принимающее значение, соответствующее некоторой логической величине, лишь на краткий промежуток времени, в течение которого производится опрос этой логической величины внешним импульсом опроса. Импульсы опроса могут поступать либо от других логических элементов в тот момент, когда вырабатываемая ими логическая функция окажется равной 1, либо периодически от специальных генераторов тактовых импульсов.

    Логические элементы, у которых все входные и выходные величины имеют вид потенциалов, называются потенциальными элементами.
    Логические элементы с двумя входами, на один из которых поступает потенциал, а на другой — импульс, с выхода же снимается импульс, называются импульсно-потенциальными элементами.
    Логические элементы, у которых все входные и выходные величины имеют вид импульсов,называются импульсными элементами.

    Примером логической ячейки ИЛИ, реализующей функцию или, является схема рис. 1. В ней входные аргументы, равные 1, изображаются в виде положительных электрических потенциалов, а входные аргументы, равные 0, — в виде нулевых потенциалов. Если на любой из входов будет подан положительный потенциал, то через соответствующий диод (т. е. элемент, сопротивление которого в направлении, указанном стрелкой, близко к нулю, а в обратном направлении очень велико) и сопротивление R потечет ток. Положительное падение напряжения на сопротивлении попадает на выход, что эквивалентно 1 на выходе схемы. Только при нулевых потенциалах на всех входах на выходе будет низкий потенциал, обозначающий 0.

    Примером логической ячейки И, реализующей и, является схема рис. 2, отличающаяся от схемы рис. 1 направлением включения диодов. Если хотя бы на одном входе аргумент равен 0, т. е. имеется нулевой потенциал, то создается цепь тока от положительного источника (+) через сопротивление R и соответствующий диод. Благодаря падению напряжения на сопротивлении R, на выходе оказывается низкий потенциал, близкий к потенциалу нуля, что эквивалентно 0 на выходе схемы. Только в том случае, когда на всех входах будет 1, т. е. высокий положительный потенциал, цепь для тока будет разомкнута и на выходе схемы будет высокий потенциал источника, эквивалентный 1.

    Примером ячейки, реализующей логическую функцию не, является инвертор, построенный на транзисторе (рис. 3). Транзистором, условное обозначение которого показано на рис. 3, называется полупроводниковый прибор с тремя выводами, называемыми эмиттером, базой и коллектором. Эмиттер соединен с землей, т. е. имеет нулевой потенциал, а коллектор через нагрузочное сопротивление R соединен с источником питающего напряжения.

    В зависимости от величины управляющего напряжения, подаваемого между эмиттером и базой, замыкается или размыкается цепь тока между эмиттером и коллектором. Транзистор, таким образом, выполняет функции выключателя тока. Нулевому управляющему сигналу соответствует отсутствие тока через транзистор. Напряжение на коллекторе оказывается при этом равным напряжению источника питания. Ненулевому управляющему сигналу, равному по величине напряжению источника питания, соответствует наличие тока через транзистор. Из-за падения напряжения на сопротивлении R напряжение на коллекторе оказывается близким к нулю. Зависимость между входным сигналом, подаваемым на базу, и выходным сигналом, снимаемым с коллектора, соответствует логическому преобразованию НЕ.

    Мы не будем рассматривать вопросы о физическом построении логических элементов. Логические элементы мы будем обозначать квадратиками, в которых написано, соответственно выполняемому ими логическому преобразованию, И, ИЛИ, НЕ, отвлекаясь от внутренней структуры этих квадратиков. Стрелками мы будем обозначать входы и выходы логических элементов. Элементы И, ИЛИ могут иметь два или более входов и один выход, элемент НЕ — один вход и один выход.

    В некоторых случаях потенциальные величины на входах и выходах элементов мы будем обозначать значком _П_ а импульсные величины — значком _/\_.

    Логическая функция, выражаемая через элементарные функции в форме функции от функций, может быть реализована схемой из логических элементов, в которой входы некоторых элементов связаны с выходами других элементов.

    Доказано, что произвольная логическая функция может быть выражена в форме функции от функций через элементарные логические функции и, или, не, следует вывод, что произвольная логическая функция от n аргументов может быть реализована схемой, содержащей элементы И, ИЛИ, НЕ, входы и выходы которых определенным образом связаны друг с другом.

    Существуют формулы эквивалентного преобразования логических выражений. Например, тот факт, что логическая функция А\/А/\В эквивалентна логической функции А \/ В, означает, что схема, изображенная на рис. 4 а, эквивалентна схеме, изображенной на рис. 4 б. Нетрудно видеть, что вторая схема значительно проще.

    В некоторых случаях при рассмотрении логических схем нам нужно будет учитывать тот факт, что выходную величину логический элемент вырабатывает не мгновенно после поступления аргументов на его входы, т. е. вносит в схему некоторое запаздывание. В связи с этим в схемы для правильной их работы в некоторых случаях придется специально вводить элементы временной задержки, которые мы будем обозначать квадратиком, помеченным буквой τ.

    2. Рассмотрим логическую схему преобразователя n-значного двоичного кода в одноразрядный код в системе счисления с основанием
    $$p=2^n.$$
    n-разрядное двоичное число может быть задано « двоичными элементами.

    Каждый двоичный элемент имеет два выхода: нулевой и единичный. Нулевое состояние двоичного элемента изображается сигналом на нулевом выходе и отсутствием сигнала на единичном выходе. Единичное состояние, наоборот, изображается отсутствием сигнала на нулевом выходе и сигналом на единичном выходе. Состояние каждого двоичного элемента определяет значение цифры соответствующего двоичного числа. Одноразрядный код в системе счисления с основанием p может быть изображен схемой с p выходами. Любое из чисел і изображается таким состоянием этой схемы, при котором имеется сигнал на i-м выходе и отсутствует сигнал на остальных (р — 1) выходах. Схемы, преобразующие n-разрядный двоичный код в одноразрядный код с основанием p весьма часто применяются в цифровых машинах и носят название дешифраторов (рис. 5).

    Пример схемы дешифратора трехзначного двоичного кода в однозначный восьмеричный код изображен на рис. 6. Эта схема представляет собой совокупность нескольких логических элементов И, показанных на рис. 2. Каждая из схем И выраба­тывает конституенту единицы для одного из наборов двоич­ных аргументов, часть которых берется со знаком инверсии, а часть — без знака инверсии. Ввиду того, что инвертиро­ванное значение каждого из двоичных аргументов может быть снято с нулевого выхода двоичного элемента, каждую из схем, вырабатывающих конституенту единицы для любого набора, можно построить без применения логических элементов НЕ. Сложность дешифратора, построенного в виде р схем, вырабатываю­щих логические функции типа конституенты единицы, может быть охарактеризована общим количеством входов всех р схем, равным p*n.

    Дешифратор может быть упрощен, если мы применим промежуточное преобразование n-разрядного двоичного кода в двухразрядный код с основаниями
    $$p_1 = 2^n_1б
    \\
    з2 = 2^n_2,
    \\
    n_1+n_2=n,$$
    с дальнейшим преобразованием двухразрядного кода в одноразрядный. В этом случае мы имеем два дешифратора первой ступени с р1 и р2 выхо­дами, связанные соответственно с n1 и n2 = n-n1 раз­рядами двоичного числа, не отличающиеся от рассмотренных выше, и один дешифратор второй ступени преобразования двухразрядного кода с основаниями р1 и р2 в одноразрядный код с основанием

    $$р = р_1\cdotр_2 (рис. 10)$$.

    Каждый выход дешифратора второй ступени связан логической схемой с одним из выходов каждого дешифратора первой Ступени. Логическая схема, связанная с каждым выходом дешифратора второй ступени, имеет только два входа.

    Пример схемы связи дешифратора второй ступени с выходами дешифраторов первой ступени показан на рис. 8.
    Общее количество входов у дешифраторов как первой, так и второй ступени равно

    $$2p + n_1p_1 + n_2p_2$$

    Переход от одноступенчатой структуры дешифратора к двухступенчатой часто позволяет резко сократить общее количество входов и тем самым упростить схему дешифратора. Например, одноступенчатый дешифратор восьмизначного двоичного кода в однозначный 256-ричный код имеет
    $$256\cdot8 = 2048$$
    входов. Аналогичный дешифратор с промежуточными дешиф­раторами, каждый из которых связан с четырьмя разря­дами, имеет
    $$256\cdot2+16\cdot4+1\cdot4=640$$
    ходов, т. е. значительно меньше, чем одноступенчатый дешифратор. Можно было бы построить аналогичным способом дешифратор с числом ступеней, большим чем две.

    3. Доказано, что система логических элементов И, ИЛИ, НЕ достаточна для построения из нее логических схем, вырабатывающих произвольную логи­ческую функцию. Система элементов, обладающая таким свойством, называется функционально полной системой логических элементов. Из формул

    $$
    A \wedge (A \vee B) = (A \vee 0) \wedge (A \vee B) = A \vee 0 \wedge B = A,
    \\
    A \wedge (\overline{A} \vee B) = A \wedge \overline{A} \vee A \wedge B = 0 \vee \wedge B = A \wedge B
    $$

    можно сделать заключение, что, даже исключив из упомянутой выше системы элемент И или элемент ИЛИ, мы не нарушим свойства функциональной полноты системы, хотя реали­зация произвольной логической функции может оказаться более сложной, чем для системы элемен­тов И, ИЛИ, НЕ.

    Рассмотренная нами система элементов не является единственной системой, обладающей свойством функциональной полноты. Ниже приведены примеры систем элементов, которые совместно с константной 1 и константной 0, реализуемых не специальными элементами, а источником питания, который можно включить и выключить, образуют функционально полную систему элементов:

    • Система, состоящая из единственного элемента, опи­сываемого табл. 1.
      аргументы функция
      x y f1(x,y)
      0 0 1
      0 1 1
      1 0 1
      1 1 0

      Функция f1(x,y) может быть выражена через И, ИЛИ, НЕ так:
      $$f_1(X,Y) = \overline{x \wedge y}$$

      С помощью этой функции могут быть образованы логиче­ские функции НЕ, И, ИЛИ по формулам
      $$
      \overline{x} = f_1(x,1)=f_1(x,x),
      \\
      x \wedge y=f_1 [ f_1 (x,y),1]=f_1[f_1(x,y),f_1(x,y)],
      \\
      x \vee y =f_1 [ f_1 (x,1),f_1 (1,y)]=f_1[f_1(x,x),f_1(y,y)].
      $$
      Приведенные формулы подтверждают факт функциональной полноты логической функции f1.

    • Система элементов, состоящая из единственного эле­мента, описываемого табл. 2. Функция f2 (х, у) может быть выражена через и, или, не в виде
      $$f_2(x,y)=\overline{x \vee y}.$$

      аргументы функция
      x y f2(x,y)
      0 0 1
      0 1 0
      1 0 0
      1 1 0
    • Система элементов, состоя­щая из двух элементов, один из которых вырабатывает логическую функцию ИЛИ, а другой — сумму по модулю 2:

      $$f_3(x,y) = x \wedge y \vee \overline{x} \wedge \overline{y}$$
      Подобная система элементов реализуется в феррит-диодных и феррит-транзисторных схемах.

    • Система элементов, состоящая из инвертора х и «ма­жоритарного» элемента, имеющего нечетное количество вхо­дов и вырабатывающего функцию, совпадающую со значе­нием двоичного аргумента на большинстве входов. Эта система элементов реализуется в схемах с так называемой пороговой логикой.

    В [1] В. М. Глушковым сформулированы необходимые и достаточные условия, которым должна удовлетворять функционально полная система элементов. В настоящей книге мы этого вопроса касаться не будем. Для каждой из применяемых систем элементов мы должны, естественно, знать не только о принципиальной возможности построе­ния любой логической функции, но и иметь конкретные методы синтеза схем по заданной логической функции, их минимизации и т. д. Это значит, что должна быть раз­работана алгебра логики, специфическая для данной си­стемы элементов. В настоящей книге мы не будем рассмат­ривать этих вопросов применительно к системам элементов, отличным от И, ИЛИ, НЕ.

    Ссылки на литературу:

    • Глушков В.М., Синтез цифровых автоматов, Физматгиз, 1962.

    (материал взят из книги Папернов А.А. Логические основы цифровых машин и программирования Текст. М.: Наука, 1968. 591с.)

Для ответа в этой теме необходимо авторизоваться.